Определение

Комплексным числом называется выражение вида \( z = a + bi \)

Например: \( z = 3 - 7i \)

Действительная и мнимая часть комплексного числа

Действительное число \(a\) называется действительной частью комплексного числа \( z = a + bi \) и обозначается \( a = Rez \)

Действительное число \(b\) называется мнимой частью числа \( z = a + bi \) и обозначается \( b = Imz \)

Например: для комплексного числа \( z = 3 - 7i \) действительная часть \( a = Rez = 3\), а мнимая - \( b = Imz = -7\)

Если действительная часть комплексного числа \( z = a + bi \) равна нулю ( \( a = Rez = 0\) ), то комплексное число называется чисто мнимым.

Например: \( z = -2i \)

Мнимая единица

Величина \(i\) называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:

\( i^2 = -1 \)

Равные комплексные числа

Два комплексных числа \( {z}_1 = {a}_1 + {b}_1 i \) и \( {z}_2 = {a}_2 + {b}_2 i \) называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

\( {z}_1 = {z}_2 \) <=> \( {a}_1 = {a}_2 \) ᐱ \( {b}_1 = {b}_2 \)

Число \( {\bar z} = a - bi \) называется комплексно сопряженным числом к числу \( z = a + bi \)

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например: для комплексного числа \( z_1 = 2 + 3i \) комплексно сопряженным есть число \( \bar z_1 = 2 - 3i \); для \( z_2 = i \) комплексно сопряженное \( \bar z_2 = -i \) и для \( z_3 = -2 \) имеем, что \( \bar z_3 = -2 \)

Комплексное число \( -z = -a - bi \) называется противоположным к комплексному числу \( z = a + bi \).

Например: противоположным к числу \( z = 2 + i \) есть число: \( -z = - (2+i) = -2 -i \).