Что такое множество натуральных чисел?

Множество натуральных чисел — образуют числа 1, 2, 3, 4, ..., используемые для счёта предметов. Множество всех натуральных чисел принято обозначать буквой N

Обозначения

Это бесконечное множество, оно имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента. Иногда к натуральным числам добавляют 0, тогда он будет наименьшим элементом.

Например: N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...}.

Законы сложения натуральных чисел

• Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a + b = b + a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения
• Для любых натуральных чисел a, b, c верно равенство (a + b) + c = a + (b + c). Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом сложения.
  
  Законы умножения натуральных чисел
• Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом умножения.
• Для любых натуральных чисел a, b, c верно равенство (ab)c = a(bc). Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом умножения.
• При любых значениях a, b, c верно равенство (a + b)c = ac + bc. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения).
• При любых значениях a верно равенство a*1 = a. Это свойство называют законом об умножении на единицу.

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число. Или, говоря иначе, эти операции можно выполнить, оставаясь во множестве натуральных чисел. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя: так, из числа 3 нельзя, оставаясь во множестве натуральных чисел, вычесть число 7; число 15 нельзя разделить на 4 нацело.

Признаки делимости натуральных чисел

• Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
• Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.
• Признак делимости на 2. Для того, чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была чётной.
• Признак делимости на 5. Для того, чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была либо 0, либо 5.
• Признак делимости на 10. Для того, чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.
• Признак делимости на 4. Для того, чтобы натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы последние цифры были 00, 04, 08 или двузначное число, образованное последними двумя цифрами данного числа, делилось на 4.
• Признак делимости на 2 (на 9). Для того, чтобы натуральное число делилось на 3 (на 9), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).