Рациональные числа - числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби, отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль.
Чтобы сделать выполнимой операцию деления целых чисел на любое число, не равное нулю, вводятся дроби:
\({a \over b}\) , где a и b - целые числа и b не равно нулю.
Если к множеству целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей, то получается множество рациональных чисел Q:
\( Q = \{ {a \over b} | { a ∈ Z }, { b ∈ Z }, { b ≠ 0 } \} \)
При этом каждое целое число является также рациональным числом, так как, например, число 5 может быть представлено в виде \({5 \over 1}\), где числитель и знаменатель - целые числа. Это бывает важно при операциях над рациональными числами, из которых одно может быть целым числом.
Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной:
\( {a \over b} = {am \over bm} \) Это свойство используется при сокращении дробей.
Сложение дробей. Сложение обыкновенных дробей определяется следующим образом:
\( {a \over b} + {c \over d} = {{ad + bc} \over bd} \)
То есть, для сложения дробей с разными знаменателями дроби приводятся к общему знаменателю. На практике при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями дроби приводятся к наименьшему общему знаменателю. Например, так:
\( {7 \over 24} + {11 \over 30} = {{7 * 5} \over {24 * 5}} + {{11 * 4} \over {30 * 4}} = {{35 + 44} \over 120} = {79 \over 120} \)
Для сложения дробей с одинаковыми числителями достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.
Умножение дробей. Умножение обыкновенных дробей определяется следующим образом:
\( {a \over b} * {c \over d} = {ac \over bd} \)
То есть, для умножения дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.
Деление дробей. Деление обыкновенных дробей определяется следующим образом:
\( {a \over b} : {c \over d} = {ad \over bc} \)
То есть, для деления дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и произведение записать в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и произведение записать в знаменатель новой дроби.
Возведение дроби в степень с натуральным показателем.
Эта операция определяется следующим образом:
\( {({a \over b})^n} = {a^n \over b^n} \)
То есть, для возведения дроби в степень числитель возводится в эту степень и знаменатель возводится в эту степень.