На числовой прямой, которую мы рассмотрели в связи с множеством целых чисел, могут быть точки, не имеющие координат в виде рационального числа. Так, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Следовательно, число √2 не является рациональным числом. Так же не существует рациональных чисел, квадраты которых равны 5, 7, 9. Следовательно, иррациональными являются числа √5, √7, √10. Иррациональным является и число \(\pi\)
Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде периодической дроби. Их представляют в виде непериодических дробей.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел представляет собой множество действительных чисел R
Аксиомы сложения. Для любых a, b, c из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:
I. a + b = b + a.
II. (a + b) + c = a + (b + c).
III. a + 0 = a.
IV. Для любого a ∈ R существует такое число b ∈ R, что a + b = 0. Это число b называется противоположным числу a и обозначается - a.
Аксиома IV позволяет ввести операцию вычитания в множестве действительных чисел: под разностью a - b понимается сумма a + (- b).
Аксиомы умножения. Для любых a, b, c из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:
V. ab = ba.
VI. (ab)c = a(bc).
VII. a*1 = a.
VIII. Для любого отличного от нуля числа a ∈ R существует такое число b ∈ R, что ab = 1. Это число b называется обратным числу a и обозначается \(1 \over a\).
IX. (a + b)c = ac + bc.
Аксиома VIII позволяет ввести операцию деления в множестве действительных чисел: под \(a \over b \) понимается произведение \( a * {1 \over b} \), где b ≠ 0.
Аксиома Архимеда. Для любых положительных действительных чисел a и b существует такое натуральное число n, что na > b.